福爾哈貝公式：用一個公式算完所有次方和

威威老師 | 數學公式系列

一句話總結

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ 你會算。那 $1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5$ 呢？福爾哈貝公式一個公式搞定所有次方。

故事開場：小王子的彈珠

小王子有 $n$ 堆彈珠，第 $k$ 堆有 $k^3$ 顆。他想知道總共有多少顆。

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = ?$

如果你知道答案是 $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$，你會不會覺得奇怪——立方和居然是「和的平方」？這不是巧合，是福爾哈貝公式的冰山一角。

從簡單的開始

一次方和（高斯公式）

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

故事大家都知道：小高斯 10 歲時，老師出題 $1+2+\cdots+100$，他幾秒鐘算出 $5050$。方法是頭尾配對：$1+100=101$，$2+99=101$，......，共 $50$ 對。

二次方和

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

這個公式稍微複雜，但推導方式很多：數學歸納法、遞迴關係、或用「差分法」。

三次方和

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

這是個驚人的等式：立方和等於和的平方。 等號右邊就是一次方和再平方。

福爾哈貝公式：一般形式

1631 年，德國數學家約翰·福爾哈貝（Johann Faulhaber）發現了一個通用公式：

$\sum_{k=1}^{n} k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^{p} (-1)^j \binom{p+1}{j} B_j , n^{p+1-j}$

其中 $B_j$ 是伯努利數（Bernoulli numbers）。

伯努利數

前幾個伯努利數：

注意：$j \geq 3$ 的奇數項，伯努利數都是 0。這讓公式簡化了不少。

用福爾哈貝公式算四次方和

來算 $\sum_{k=1}^{n} k^4$：

$\sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{1}{5} \sum_{j=0}^{4} (-1)^j \binom{5}{j} B_j , n^{5-j}$

展開各項：

• $j=0$：$(-1)^0 \binom{5}{0} B_0 , n^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot n^5 = n^5$
• $j=1$：$(-1)^1 \binom{5}{1} B_1 , n^4 = -5 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot n^4 = \frac{5}{2}n^4$
• $j=2$：$(-1)^2 \binom{5}{2} B_2 , n^3 = 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot n^3 = \frac{5}{3}n^3$
• $j=3$：$B_3 = 0$，整項消失
• $j=4$：$(-1)^4 \binom{5}{4} B_4 , n = 5 \cdot (-\frac{1}{30}) \cdot n = -\frac{1}{6}n$

加總後乘 $\frac{1}{5}$：

$\sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

實際應用

1. 計算機科學：時間複雜度分析

在分析演算法時，你經常需要算迴圈的總運算次數。例如：

for i in range(n):
    for j in range(i*i):
        do_something()

內層迴圈執行 $0^2 + 1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2$ 次，就是二次方和。知道公式就能直接算出 $\Theta(n^3)$ 的時間複雜度，不用慢慢加。

2. 物理：轉動慣量

一個均勻細棒繞端點旋轉，轉動慣量是：

$I = \int_0^L x^2 , dx$

離散化後變成 $\sum k^2$ 的問題。福爾哈貝公式讓你能精確計算離散模型的物理量。

3. 統計學：動差計算

統計的 $p$ 階動差（moment）涉及 $\sum x_i^p$。計算樣本動差時，福爾哈貝公式能幫你快速推導封閉解。

4. 機器學習：正則化

某些正則化項涉及冪次和。例如 Tikhonov 正則化的離散版本需要計算 $\sum k^p$，知道封閉解可以加速計算。

跟英文學習的類比

福爾哈貝公式就像英文的「構詞法」（word formation）。

• 你不需要死背每個長單字。
• 只要知道字根、字首、字尾的規則，就能組合出無限多的新詞。
• un- + believe + -able = unbelievable

福爾哈貝公式也一樣：你不需要為每個 $p$ 值重新推導。只要知道伯努利數和二項式係數，一個公式就能算出所有次方和。

結構比記憶重要。

常見錯誤

1. 忘記伯努利數的正負號。 $B_1 = -\frac{1}{2}$，不是 $+\frac{1}{2}$。有些定義用 $B_1 = +\frac{1}{2}$，要確認你用的是哪種約定。

2. 搞混 $\sum k^p$ 和 $(\sum k)^p$。 前者是各項 $p$ 次方後相加，後者是先加再取 $p$ 次方。只有 $p=1$ 時兩者碰巧有關聯（$1^3+2^3+\cdots+n^3 = (1+2+\cdots+n)^2$）。

3. 以為公式對 $p=0$ 也成立。 $p=0$ 時，$\sum_{k=1}^n k^0 = n$，公式仍然成立（代入後簡化為 $n$），但要小心 $B_0$ 的定義。

4. 忽略求和範圍。 福爾哈貝公式是 $\sum_{k=1}^{n}$，從 1 開始。如果你要算 $\sum_{k=0}^{n}$，記得加上 $k=0$ 那一項（通常是 0，但要確認）。

歷史趣聞

福爾哈貝是德國紐倫堡的一位紡織工人的兒子。他沒有受過正式的大學教育，卻靠自學成為當時最傑出的數學家之一。他在 1631 年出版的書中列出了 $p=1$ 到 $p= 17$ 的所有公式，而那時伯努利數還沒有被正式定義。

伯努利（Jakob Bernoulli）在 1713 年的遺作《猜度術》（Ars Conjectandi）中才系統性地研究這些數字，並把它們與冪次和聯繫起來。所以嚴格來說，福爾哈貝比伯努利早了 80 多年。

數學史上經常這樣——公式以後來者命名，但真正的發現者可能更早。就像哥倫布「發現」美洲，但原住民早就住在那裡了。

延伸練習

1. 用福爾哈貝公式計算 $\sum_{k=1}^{10} k^5$。
2. 驗證 $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$。
3. 用數學歸納法證明 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

威威老師說：福爾哈貝沒有大學學歷，卻發現了連教授都覺得漂亮的公式。學歷不重要，好奇心才重要。