排列組合：你每天都在用，只是不知道而已

威威老師 | 計數原理系列

一句話總結

排列是「順序有關」，組合是「順序無關」。但真正的關鍵不是背公式，而是判斷「順序到底有沒有差」。

故事開場：威力彩的數學

威力彩的玩法：從 1-38 號碼中選 6 個，再從 1-8 中選 1 個作為第二區。

中頭獎的機率是多少？

第一區：$\binom{38}{6} = \frac{38!}{6! \cdot 32!} = 2,760,681$

第二區：$\binom{8}{1} = 8$

總機率：$\frac{1}{2,760,681 \times 8} = \frac{1}{22,085,448}$

大約兩千兩百萬分之一。你買一注要 100 元，要「期望值打平」頭獎獎金至少要 22 億。但實際上頭獎通常只有幾億，所以長期買彩券一定是賠錢的。

這就是排列組合的威力——幫你看清真相。

排列 vs. 組合：到底差在哪？

核心問題：順序重不重要？

排列公式

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

白話：從 $n$ 個東西中選 $r$ 個，考慮順序。

組合公式

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

白話：從 $n$ 個東西中選 $r$ 個，不考慮順序。

兩者的關係

$P(n,r) = C(n,r) \times r!$

排列 = 組合 × 順序數。因為組合選出 $r$ 個後，這 $r$ 個可以有 $r!$ 種排列方式。

實戰範例

例題 1：班上選幹部

班上 40 個人，要選班長、副班長、學藝股長。有多少種選法？

分析： 順序有差（班長和副班長是不同的職位）。

$P(40,3) = 40 \times 39 \times 38 = 59,280$

例題 2：便當配菜

自助餐有 12 道菜，你選 3 道。有多少種組合？

分析： 順序無差（選青菜+雞腿+魚 = 選雞腿+魚+青菜）。

$C(12,3) = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

例題 3：機率計算

一副 52 張撲克牌，抽 5 張。剛好拿到一對（one pair）的機率是多少？

分析：

1. 選哪個數字配對：$C(13,1) = 13$
2. 選這個數字的 2 張花色：$C(4,2) = 6$
3. 剩下 3 張從其他 12 個數字中選：$C(12,3) = 220$
4. 這 3 張的花色：$4^3 = 64$

$\text{一對的組合數} = 13 \times 6 \times 220 \times 64 = 1,098,240$

$\text{機率} = \frac{1,098,240}{C(52,5)} = \frac{1,098,240}{2,598,960} \approx 42.3%$

這就是為什麼打撲克牌時「一對」這麼常出現。

生活中的排列組合

1. 密碼安全

你的手機密碼是 4 位數，每位 0-9。總共 $10^4 = 10,000$ 種可能。如果每秒試一組，167 分鐘就能破解。

如果你用 6 位英數混合密碼（大小寫字母 + 數字 = 62 字元），有 $62^6 = 56,800,235,584$ 種可能。每秒試一組要 1,800 年。

密碼長度比複雜度重要。

2. 手搖飲料菜單

50 嵐有 5 種甜度、5 種冰量、10 種加料選項（可加可不加）。一杯飲料的可能組合：

甜度 × 冰量 × 加料 = $5 \times 5 \times 2^{10} = 25,600$

兩千多種組合，難怪每次點飲料都要想很久。

3. 運動賽程

NBA 30 支球隊，每隊打 82 場例行賽。賽程的安排就是一個巨大的排列組合問題——要考慮主客場、地理距離、背靠背比賽、電視轉播......。

4. 撲克牌遊戲

德州撲克的起手牌有 $C(52,2) = 1,326$ 種。但因為花色對稱，實際上只有 169 種本質不同的起手牌（pocket pairs: 13 種, suited: 78 種, offsuit: 78 種）。

經典陷阱題

陷阱 1：重複選取

從 5 個人中選 3 個排成一列，可以重複選同一個人嗎？

• 不可重複：$P(5,3) = 60$
• 可重複：$5^3 = 125$

關鍵字：「可重複」→ 用乘法原理直接算。

陷阱 2：有條件限制

5 男 3 女排成一列，女生不能相鄰。

解法： 先排 5 個男生（$5!$ 種），再把 3 個女生插入 6 個空隙（$P(6,3)$ 種）。

$5! \times P(6,3) = 120 \times 120 = 14,400$

陷阱 3：圓形排列

$n$ 個人圍圓桌坐，有幾種坐法？

不是 $n!$，而是 $(n-1)!$。因為圓桌沒有「起點」，旋轉後相同的算同一種。

常見錯誤

1. 排列組合搞混。 口訣：「排排站（排列）」有順序，「組一組（組合）」沒順序。

2. 忘記除以重複。 例如：6 本書分給 2 人各 3 本，不是 $C(6,3) \times C(3,3) = 20$，因為兩個人是「不同的人」，所以不用除。但如果分給「兩堆」就要除以 2。

3. 直接用 $n^r$ 而不考慮是否可重複。 $n^r$ 是「可重複排列」，只適用於每次選擇都獨立的情況。

4. 圓形排列忘記 $(n-1)!$。 線形是 $n!$，圓形是 $(n-1)!$，手鐲（可翻面）是 $\frac{(n-1)!}{2}$。

給高中生的建議

排列組合是機率的基礎，機率是統計的基礎，統計是資料科學的基礎。

如果你以後想做 AI、資料分析、金融工程，排列組合是你必須打好的根基。不是因為你會直接算 $C(n,r)$，而是因為「計數思維」——把複雜問題拆成可數的小步驟——這種能力在任何領域都有用。

就像學英文的「句型」一樣。你不是背了 5 種句型就能寫出好文章，但掌握了句型結構，你就能分析任何句子、寫出任何你想表達的意思。

延伸練習

1. 從 1-49 樂透選 6 個號碼，中獎機率是多少？
2. 10 個人排成一列，其中 2 個人一定要相鄰，有幾種排法？
3. 8 本不同的書放到 3 個書架上，每個書架至少放 1 本，有幾種放法？

威威老師說：排列組合不是在算數字，是在訓練你「把大問題拆成小問題」的能力。這個能力，一輩子受用。